Phép nhân: mô hình mảng
Phép nhân giúp ta đếm nhanh các phần tử khi chúng được sắp xếp theo nhiều nhóm bằng nhau.
Một hội trường xếp ghế theo hàng và cột. Thay vì đếm từng chiếc ghế, ta chỉ cần biết số hàng và số ghế mỗi hàng là tính được tổng số ghế. Chọn số hàng và số cột, dự đoán tổng số ô, rồi kiểm tra.
Người Ai Cập cổ đại (ít nhất từ khoảng 2000 năm TCN, ghi lại trong cuộn giấy cói Rhind Papyrus) nhân theo cách khác ngày nay: thay vì học thuộc bảng cửu chương, họ gấp đôi liên tục rồi cộng lại. Cách này là "phép nhân theo hệ nhị phân" mà máy tính hiện đại vẫn dùng.
Bước 1: Lập 2 cột. Cột trái bắt đầu từ 1, cột phải bắt đầu từ số muốn nhân (12). Mỗi hàng tiếp theo, gấp đôi cả hai cột; dừng lại ngay trước khi cột trái vượt quá số kia (13):
| 1 | 12 |
| 2 | 24 |
| 4 | 48 |
| 8 | 96 |
Bước 2: Chọn các hàng ở cột trái có tổng bằng 13. 1 + 4 + 8 = 13 (đánh dấu 3 hàng này, bỏ qua hàng "2").
Bước 3: Cộng các số ở cột phải của những hàng đã đánh dấu. 12 + 48 + 96 = 156. Vậy 13 × 12 = 156.
Vì sao cách này đúng? Vì bước 2 thực chất là viết 13 dưới dạng nhị phân (13 = 8 + 4 + 1, tức "1101" trong hệ nhị phân). Bộ vi xử lý trong máy tính ngày nay cũng nhân hai số theo nguyên lý này.
Dự đoán tổng số ô trước khi đếm.
Nguyên lý: phép nhân là cách đếm nhanh nhiều nhóm bằng nhau, thay vì đếm từng ô một.
Bài học: hàng × cột luôn bằng cột × hàng: xoay lưới 3×4 thành 4×3 vẫn được 12 ô. Đó là lý do phép nhân có tính giao hoán.