Phương trình bậc 2: Hoàn thiện hình vuông kiểu Al-Khwarizmi
Trước khi có công thức nghiệm phải học thuộc lòng, người ta giải phương trình bậc 2 bằng cách vẽ hình, không cần nhớ công thức nào cả. Bài này giới thiệu cách giải phương trình bậc 2 bằng phương pháp hình học.
Cách giải này có từ hơn 1200 năm trước. Tự làm lại theo đúng cách đó với ví dụ x² + 10x = 39 ngay bên dưới.
Biểu thức x² + bx gồm 2 phần hình học rời nhau: 1 hình vuông cạnh x (diện tích x²) và 1 hình chữ nhật cạnh x × b (diện tích bx). Ghép 2 mảnh này theo cách nào để được hình gần hình vuông nhất, dễ "hoàn thiện" nhất? Bấm cả 2 cách bên dưới để so sánh:
Hình dưới gồm 1 hình vuông cạnh x và 2 hình chữ nhật bằng nhau (vì ta chia đôi "bx" thành 2 mảnh bằng nhau). Hình còn thiếu 1 góc vuông nhỏ, đánh dấu bằng khung nét đứt. Kéo thanh trượt bên dưới để đổi kích cỡ ô vuông xanh ở góc dưới bên phải, tới khi nó vừa khít khung nét đứt (không thừa ra ngoài, không hở bên trong). Khi bạn tìm đúng, con số chính xác và lý do sẽ hiện ra.
Cách giải này ghi trong cuốn sách Al-Jabr wa'l-Muqabala của nhà toán học Ba Tư Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, viết tại Baghdad năm 820. Chữ "algebra" (đại số) bắt nguồn từ từ al-jabr trong tên sách, nghĩa gốc là "hoàn thiện" hoặc "phục hồi": đúng thao tác "thêm hình vuông nhỏ để hoàn thiện góc thiếu" bạn vừa làm. Còn chữ "algorithm" (thuật toán) bắt nguồn từ tên ông (Khwarizmi → Latin hoá thành "Algorithmi"). Hai thuật ngữ quan trọng của toán học và khoa học máy tính hiện đại cùng ra đời từ 1 cuốn sách hơn 1200 năm trước.
Nguyên lý: phương trình x² + bx = c có thể giải bằng hình học: hoàn thiện hình vuông cạnh (x + b/2), diện tích của nó luôn bằng c + (b/2)².
Bài học: công thức nghiệm quen thuộc không phải 1 công thức tách biệt phải nhớ riêng. Nó là cách viết gọn thao tác "hoàn thiện hình vuông" bạn vừa làm, tổng quát hoá cho mọi hệ số. (Chú ý: số phức, 1 khái niệm nâng cao hơn, không bắt nguồn từ việc giải phương trình bậc 2 như nhiều người tưởng, mà từ phương trình bậc 3, do nhà toán học Cardano khám phá ở thế kỷ 16.)