Số nguyên âm
Suốt hàng ngàn năm, người ta không dùng số âm, vì khi đếm đồ vật hay đo đạc ruộng đất, "số lượng nhỏ hơn 0" nghe vô lý (làm sao có -3 con cừu?). Số âm được ghi nhận sớm nhất ở Trung Quốc khoảng 200 năm TCN: người ta dùng que tính đỏ cho số dương và que đen cho số âm để ghi nợ trong buôn bán (đỏ = tài sản, đen = nợ). Khoảng thế kỷ 7, nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta là người đầu tiên viết ra quy tắc tính toán với số âm, cũng dùng hình ảnh "tài sản" và "nợ". Ở châu Âu, nhiều nhà toán học vẫn coi số âm là "vô lý" cho tới thế kỷ 18. Khi ngân hàng và sổ sách kế toán trở nên phổ biến, nhu cầu ghi các khoản nợ mới khiến số âm được chấp nhận rộng rãi.
Nhiệt độ dưới 0°C, số tiền ta nợ ngân hàng, độ cao dưới mực nước biển, độ chênh lệch thua trong thể thao: nhiều đại lượng trong đời sống cần biểu diễn bằng số nhỏ hơn 0.
Dự đoán người đi bộ sẽ dừng ở đâu, sau đó thực hiện bước đi và kiểm tra trên trục số.
Dự đoán vị trí mới trước khi thực hiện.
Nguyên lý: dấu "+" và "−" không chỉ là phép tính, mà còn là hướng đi trên trục số.
Bài học: cộng một số dương là bước sang phải, cộng một số âm là bước sang trái (lùi lại). Số càng âm thì lùi càng nhiều.