Tư duy trực quan

Ước chung / Bội chung

Chia đều đồ vật thành nhóm lớn nhất có thể, hay tính xem 2 việc lặp lại theo chu kỳ khác nhau khi nào trùng nhau, là 2 bài toán rất hay gặp. Ví dụ nổi tiếng nhất của loại thứ hai: ông bà ta gọi tên năm bằng cách ghép 1 trong 10 Thiên Can (Giáp, Ất, Bính...) với 1 trong 12 Địa Chi (Tý, Sửu, Dần...): Giáp Tý, Ất Sửu, Bính Dần... Vì sao phải đúng 60 năm mới quay lại tên Giáp Tý ban đầu, không phải 50 hay 70? Vì chu kỳ 10 (Thiên Can) và chu kỳ 12 (Địa Chi) chỉ khớp lại đúng vị trí xuất phát cùng lúc sau đúng Bội chung nhỏ nhất của 10 và 12, tức 60 năm. (Xem thêm ví dụ khác ở mục 2 bên dưới.)

Ước của một số là những số chia hết số đó (phép chia không dư). Ví dụ với 4 và 6:

• Ước của 4 là: 1, 2, 4 (vì 4÷1=4, 4÷2=2, 4÷4=1: đều chia hết, không dư)
• Ước của 6 là: 1, 2, 3, 6

Nhìn 2 danh sách trên, số nào có mặt ở cả hai? Chỉ có 1 và 2. Ta gọi chúng là ước chung của 4 và 6. Số lớn nhất trong các ước chung (ở đây là 2) gọi là Ước chung lớn nhất, viết tắt ƯCLN.

Bội của một số thì ngược lại: là số đó nhân với 1, 2, 3... Ví dụ bội của 4 là: 4, 8, 12, 16, 20...; bội của 6 là: 6, 12, 18, 24... Số có mặt ở cả 2 danh sách bội gọi là bội chung. Số nhỏ nhất trong đó (ở đây là 12) gọi là Bội chung nhỏ nhất, viết tắt BCNN.

Cách tìm ƯCLN nhanh nhất (thuật toán Euclid) được nhà toán học Hy Lạp Euclid ghi lại trong bộ sách "Elements" khoảng 300 năm TCN. Hơn 2300 năm sau, nó vẫn là một trong những thuật toán nền tảng của khoa học máy tính hiện đại.

Dùng ƯCLN khi cần chia đều một thứ gì đó thành các phần bằng nhau, và muốn phần chia được lớn nhất có thể. Ví dụ: có 12 viên kẹo và 18 viên bi, cần chia đều vào các túi quà giống nhau (mỗi túi có cùng số kẹo, cùng số bi). Chia được nhiều nhất bao nhiêu túi? Đáp án là ƯCLN(12, 18) = 6 túi (mỗi túi 2 kẹo, 3 bi).

Dùng BCNN khi 2 việc lặp lại theo chu kỳ khác nhau, và muốn biết khi nào chúng trùng nhau lần đầu. Ví dụ: một chuyến xe buýt quay lại bến mỗi 12 phút, một chuyến khác mỗi 18 phút. Nếu cùng xuất phát thì sau bao nhiêu phút 2 xe lại gặp nhau ở bến? Đáp án là BCNN(12, 18) = 36 phút.

Chọn 2 số bất kỳ (kéo thanh trượt hoặc gõ số), rồi bấm nút để xem ƯC (ước chung) hoặc BC (bội chung) của chúng trên sơ đồ Venn. Phần giao nhau ở giữa là các ước/bội chung.

Với số nhỏ, liệt kê hết các ước (như mục 3 ở trên) không khó. Nhưng với số lớn, ví dụ ƯCLN(2024, 748), riêng việc liệt kê các ước của 2024 đã mất công. Cách nhanh hơn là chia liên tiếp lấy số dư. ƯCLN(a, b) luôn bằng ƯCLN(b, số dư của a chia b). Lặp lại tới khi số dư bằng 0, số còn lại là ƯCLN.